CFD (差价合约) 是什么？
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PHOENICS是 Parabolic Hyperbolic Or Elliptic Numerical Integration Code Series 几个字母的缩写，这意味着只要有流动和传热都可以使用PHOENICS来模拟计算，是世界上第一套计算流体与计算传热学商业软件。如今，PHO ENICS已经发展成为 一款能够模拟传热、流动、反应、燃烧过程的通用CFD软件，广泛应用于 能源动力、两相、多相流、航空航天、传热传质、化工 燃烧、爆炸、船舶水利、化学反应、建筑、暖通空调、流体机械、冶金、磁流体、环境、材料等领域
近五年来，NUMECA国际公司已经成功地在国际CFD 市场，特别是在叶轮机械领域，掀起了强劲的NUMECA 旋风，使国际上各主要叶轮机械厂家（如：Garrett, Sulzer Turbo, ABB Turbo, Thermodyn (GE), MAN, KBB,Shin Nippon Machinery, ALSTOM Power, Honda and SOLAR TurbinesFor aero &rocket engines, Snecma, Honeywell, Rolls-Royce, KHI, Fiat Avio, Pratt&Whitney,Aerodisa, Japan Defence Agency）都开始大量使用NUMECA软件，使得NUMECA的用户一直快速稳步地增长。
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方程(1)和(2)为宏观方程，调用了宏观假定，其起源为玻尔兹曼方程（又名动理学方程）。在更底层的介尺度研究领域，方程(1)和(2)也即从介尺度模型演化的宏观二阶矩模型。在无压力无粘性的条件下具备弱双曲特征。由于失去了高阶矩的统计学特征，因此方程(1)和(2)在某些情况下是不适用的；在考虑适当的简化情况下，方程(1)和(2)可被称之为Navier-Stokes (N-S) 方程。除了上述数学特征，求解N-S方程可分为不同的方法如有限体积法、有限差分法以及谱方法等。有限体积法得益于其天然守恒的数学特征，被大量的植入于CFD软件中用于流体动力学计算模拟。
控制方程与算法
首先对方程(2)中的时间项进行对速度 \(\bfU\) 关于时间 \(t\) 的欧拉全隐离散有 ：
(6) \[ \int \int \nabla p \mathrmV\mathrmt=\int\int p \mathrm\bfS\mathrmt=\Delta t\sum \left(p_f^t\bfS_f\right), \]
其中上标 \(^t\) 表示为当前的时间步（已知），上标 \(^*\) 表示预测步（待求），下标 \(_f\) 表示网格单元面上的值， \(V_\rP\) 表示网格单元体积， \(\bfS_f\) 表示网格单元的各个面的面矢量， \(\Delta t\) 表示时间步长， \(F_f^t\) 为通量， \(\nu\) 为动力粘度。方程(5)中 \((\nabla\mathbf^*)_f\cdot\bfS_f \) 需要进一步处理，其中 \(\nabla\mathbf^*\) 为定义在体心的量，即网格体心的速度梯度。 \((\nabla\mathbf^*)_f\) 为定义在面心的量，即网格面心的速度梯度。
需要注意的是，方程(2)中的左边第二项（对流项）是非线性的。在求解的过程中，要么选择非线性求解器，要么将对流项线性化。由于非线性求解器非常复杂，因此在OpenFOAM均采用线性化处理。具体的，在对方程(7)中的左边第二项对流项离散中，其中的通量 \(F_f^t\) 采用当前已知时间步的速度 \(\mathbf^t\) 来计算，同时保留 \(\mathbf^*_\mathrm\) 为未知量。这种将高阶非线性项降为一阶线性项的过程即为线性化操作。线性化的一个问题即为通量速度的信息有所滞后。
方程(7)中 \(\mathbf_f^*\) 被定义为面上的预测速度。面速度需要从体心速度进行插值来获得，在此步可以引入各种插值格式。假设在均一网格上使用中心线性格式：
同时，为使用紧致基架点防止数值震荡， \((\nabla\mathbf^*)_f\cdot\bfS_f\) 通常表示为面法向梯度与面矢量的模的乘积：
(10) \[ (\nabla\mathbf^*)_f \cdot\mathbf_f= \left((\nabla\mathbf^*)_f\cdot\frac<\mathbf_f><|\mathbf_f|> \right ) \cdot|\mathbf_f| \]
其中 \(\mathbf\) 表示网格单元体心之间矢量差（距离矢量），下标 \(_\mathrm\) 表示相邻网格单元的速度，下标 \(_\mathrm\) 表示当前网格单元的速度。速度的面法向梯度在三维情况下为一个矢量（变量的面法向梯度与变量的阶数相同）。在这里需要注意的是，方程(11)只对矩形网格精准，网格非正交性增加，需要特定的数值处理提高其计算精准性。
紧致基架点与拓展基架点的英文被称之为compact stencil与extended stencil，有关基架点的详细描述可参考无痛苦NS方程笔记中有关 laplacian(ϕ) = div(grad(ϕ))? 的讨论。
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