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在外汇市场中赚钱的秘密

美式期权定价的数值方法比较

美式期权定价的数值方法比较

解方程\(S_ e x p \left [ \sigma \sqrt a+ \left(r- \frac< \sigma^> \right) T \right ]-x=0\)

2.二叉树期权定价

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在很小的一段时间内假设股价会向上运动到\(美式期权定价的数值方法比较 S_u\),也可能向下运动到\(S_d\)。
为了确定u,d,p,我们假设市场为风险中性,即股票预期收益率等于无风险利率,接着我们构造资产组合:
Portfolio:买\(\Delta\)单位的标的资产,卖出1单位的衍生品(期权)。
上涨情形:资产组合的价值为:

下跌情形:资产组合的价值为:

二叉树和BS公式定价的比较

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3.蒙特卡洛模拟美式看跌期权定价——Regression-Based Methods

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4.有限差分

B-S partial differential equation

\(V \left(S , t \right)\)表示某股票期权的价格,我们对它做泰勒展开(直接省略了大于2阶的项):

为了简化上式,用\(Z^\)的期望值代替它,\(E \left(Z^ \right)=V a r \left(Z \right)=1\),进一步得到:

为了消除\(\Delta B\),我们构建一个包含一单位衍生证券空头和\( \frac< \partial V>< \partial S>\),单位标的证券多头的投资组合,令\(\Pi\)为该组合的价值,则:

将\(Delta S\)和\(\Delta V\)代入⑤式:

⑥式中不含\(\Delta B\),因此在时间间隔\(\Delta t\)后该组合的价值必定无风险,其在\(\Delta t\)后的瞬时收益率一定等于无风险收益率,所以就有:\( \Delta \Pi =r \Pi \Delta t\),与⑥式联立整理后得到:

用差分估计参数

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回想上面的网格图,以欧式看跌期权为例,算法如下:
1.初始化一些值,\(f_< \imath , 0>=K , f_< \imath , M>=0 , f_=m a x \left(K-j \Delta S , 0 \right)\),还有\(a_\),\(b_\),\(c_\)。